内容摘要：AVL 树的意义：是二分查找树 BST 。二分查找树查找某个值时，时间复杂度是 O(h) ，因此，我们让树的尽可能平衡，即最大高度尽可能的小。因此有了 AVL 。参考例题：AcWing：AVL树的根[

AVL 树的树转试挂意义：是二分查找树 BST 。二分查找树查找某个值时，转转转转时间复杂度是挂挂挂挂 O(h) ，因此，树转试挂我们让树的转转转转尽可能平衡，即最大高度尽可能的挂挂挂挂小。因此有了 AVL 。树转试挂

参考例题：

AcWing：AVL树的转转转转根[1]

百度百科[2]：在计算机科学中，AVL树是挂挂挂挂最先发明的自平衡二叉查找树。在AVL树中任何节点的树转试挂两个子树的高度最大差别为1，所以它也被称为高度平衡树。转转转转增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。挂挂挂挂AVL树得名于它的树转试挂发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis，他们在1962年的转转转转论文《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

BST 本质上是挂挂挂挂维护一个有序序列，AVL 树中的左旋右旋操作，并不会改变树的源码下载中序遍历结果。

上图中把 A 右旋是怎么做的呢?把 B 旋转到根节点，然后把 A 变成 B 的右孩子，把 E 补偿给 A 作为 A 的左孩子。

左旋和右旋

对节点 u 右旋：

根 u 的左儿子变成新的根 p 根的左儿子变成新的根 p 原本的右儿子 新的根 p 的右儿子变成了原本的根 u u 和 p 的高度都需要更新 void R(int& u) {      int p = l[u];     l[u] = r[p], r[p] = u;     update(u), update(p);     u = p; } 

对节点 u 右旋：

根 u 的右儿子变成新的根 p 根的右儿子变成新的根 p 原本的左儿子 新的根 p 的左儿子变成了原本的根 u u 和 p 的高度都需要更新 void L(int& u) {      int p = r[u];     r[u] = l[p], l[p] = u;     update(u), update(p);     u = p; } 

高度更新由左右儿子决定，因为求高度时，默认其两个儿子已经更新完高度了：

void update(int u) {      h[u] = max(h[l[u]], h[r[u]]) + 1; } 

插入的四种情况

四种情况

(一)新数字插到了左子树，源码库导致左子树比右子树高2;左孩子的左子树比其右子树高1

对于四种情况中的①。应该右旋 A 。

实例如上图，右旋 88 即可。

(二)新数字插到了左子树，导致左子树比右子树高2;左孩子的右子树比其左子树高1

对于四种情况中的③。应该左旋 B 再右旋 A 。

对应的情况如如下：

  70 61   65 // 左旋 61     70   65 61 // 右旋 70   65 61  70 

(三)新数字插到了右子树，导致右子树比左子树高2;右孩子的右子树比其左子树高1

对于四种情况中的②。应该左旋 A 。

对应的情况如 88 96 120 ，左旋 88 即可。

(四)新数字插到了右子树，导致右子树比左子树高2;右孩子的左子树比其右子树高1

对于四种情况中的④。应该右旋 B 再左旋 A 。

对应的情况如如下：

  70 96   88 // 右旋 96 70   88     96 // 左旋 70   96 70  88 

插入的代码

void insert(int& u, int w) {      if (!u) u = ++ idx, v[u] = w;     else if (w < v[u])     {          insert(l[u], w);         if (get_balance(u) == 2)         {              if (get_balance(l[u]) == 1) R(u);             else L(l[u]), R(u);         }     }     else     {          insert(r[u], w);         if (get_balance(u) == -2)         {              if (get_balance(r[u]) == -1) L(u);             else R(r[u]), L(u);         }     }     update(u); } 

参考资料

[1]AVL树的根: https://www.acwing.com/problem/content/description/1554/

[2]百度百科: https://baike.baidu.com/item/AVL%E6%A0%91/10986648